\documentclass[11pt]{article}
%{{{
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%profondeur de la table des matieres.
\setcounter{tocdepth}{1}
%*********************************************************
%*********************commandes****************************
%\input{/home/christine/Tex/commandes.sty}
%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Kk}{\mathbb{K}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}}

%----- Modifications de symboles -----
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}
\newcommand{\llbracket}{\left[\kern-0.15em\left[}
\newcommand{\rrbracket}{\right]\kern-0.15em\right]}
\newcommand{\rig}{\rightarrow}

%----- Fonctions usuelles -----
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%************************************************************
%
%**********************commandes locales*********************

%*************************************************************
%
\sloppy
\begin{document}
%
\begin{center}{\bf MPA S2 algèbre 2014 \\
Responsable: Christine Huyghe \\
Contrôle Continu 1 du 5 mars 2015 \\ Durée 1h30.}\\
\end{center}

   
\vspace{+2cm}

\noindent Il sera accordé le plus grand soin à la qualité de la rédaction. Sont interdits: les
documents, les téléphones portables, les baladeurs, et tout autre objet électronique
(calculatrice, ...). Le barême noté n'est qu'indicatif. Vous pouvez admettre le résultat d'une question afin de traiter
les questions suivantes.

\vspace{+1cm}
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
		\item{\bf Cours. 4pt} \begin{enumerate}\item Montrer qu'une matrice $A$ est inversible si et seulement si $det(A)\neq 0$.
						\item Rappeler l'énoncé et le calcul du déterminant de van der Monde (sans donner la
								démonstration).
						\end{enumerate}
		\item{\bf Vrai/Faux. 4pt} Vous devez impérativement justifier votre réponse, si nécessaire par un
						contre-exemple.
						\begin{enumerate}
								\item Soient $U$ l'espace vectoriel des suites complexes, $a,b\in \Cc$ et 
										$$V=\{(u_n)\in U \, | \, \forall n\geq 0,\, u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n\}.$$ L'ensemble 
										$V$ est un sous-espace vectoriel de $U$.
								\item Soient $U$ l'espace vectoriel des suites complexes et 
                                       $$W=\{(u_n)\in U \, | \, u_1=(u_0)^2\}.$$ $W$ est un sous-espace vectoriel de
									   $U$.
								\item Les fonctions $1$, $e^x$, $xe^x$ forment une famille libre de l'espace 
										vectoriel des fonctions ${\cal C}^{\infty}$ de $\Rr\rig \Rr$.
						\end{enumerate}
		\item{\bf Exercice 2. 4pt}
               \begin{enumerate}
                                                 \item Les vecteurs $$ U=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\,
												V=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$$ forment une
														famille libre de $\Rr^3$.
												\item Soit $$F=\left\{W=\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z
														\end{array}\right)\, \textrm{ tels que }\,x+z=0\right\}.$$
												Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\Rr^3$ et que 
												$(U,V)$ forme une base de $F$.
				\end{enumerate}

		\item{\bf Exercice 3. 8pt} Soit $M=M_4(\Cc)$ et $E=\mathbf{C}^4$. 
				\begin{enumerate}
						\item Soit $A\in M$ définie par $$A=\left(\begin{array}{cccc}
												0 & 0 & 0 & 1 \\
												1 & 0 & 0 & 0 \\
												0 & 1 & 0 & 0 \\
												0 & 0 & 1 & 0 
				                              \end{array}\right),$$
								et $B=A-Id$.
						\item Montrer que $A^4=Id$ et calculer $det(A)$. 
						\item Montrer que $Id,A,A^2,A^3$ forment une famille libre de $M$, puis que 
								$Id,B,B^2,B^3$ forment une famille libre de $M$.
%						\item Soient $E_0=Vect(Id)$, $F_0=Vect(Id)$, 
%								$E_n=Vect(Id, A, A^2,\ldots, A^n)$, et $F_n=Vect(Id, B, B^2,\ldots, B^n)$. 
%								Montrer que $E_1=F_1$, que $E_2=F_2$, puis que $E_n=F_n$ pour tout $n \geq 0$.
						\item Montrer que $B$ n'est pas inversible et que $rang(B)=3$.\label{rangB} 
						\item Soit $F=\{X\in \Cc^4\,| \, AX=X\}$. Montrer que $F$ est une droite vectorielle de 
								$\mathbf{C}^4$ et en donner une base.
						\item En utilisant la définition de $B$, montrer qu'il existe un polynôme unitaire 
								(de coefficient dominant égal à $1$), de degré $4$, sans terme constant
								$P\in\Cc[X]$ tel que $P(B)=0$. Ecrire $P(X)=XQ(X)$ où $Q$ est un polynôme unitaire 
								de degré $3$, de sorte que $BQ(B)=0$.
						\item Montrer que $Q(B)\neq 0$.
						%\item Montrer que $E_4=E_3$, puis que $\forall n\geq 3$, $E_n=E_3$.
					\end{enumerate}





%
	\end{enumerate}
         
\end{document}
